sober 空間の圏から frame の圏への自然な反変関手の充満忠実性

本稿では、位相幾何学および圏論において重要な関係である、sober 空間 (sober space) の圏から frame の圏への自然な反変関手 (contravariant functor) が充満忠実 (fully faithful) であることの証明を、基礎的な定義から自己完結的 (self-contained) に解説します。

1. 圏論と順序集合の基礎概念

まずは、議論の土台となる半順序集合 (partially ordered set) や圏 (category) に関する基本的な定義を確認します。

定義 1.1 (半順序集合) 集合 \( P \) 上の二項関係 \( \le \) が、反射律、反対称律、推移律を満たすとき、\( (P, \le) \) を半順序集合 (partially ordered set) と呼びます。
部分集合 \( S \subseteq P \) に対して、その上限 (supremum) または結び (join) を \( \bigvee S \) と表し、下限 (infimum) または交わり (meet) を \( \bigwedge S \) と表します。
定義 1.2 (圏と関手) 圏 (category) \( \mathcal{C} \) は、対象 (objects) の集まりと、対象の間の射 (morphisms) の集まりから構成されます。
圏 \( \mathcal{C} \) から圏 \( \mathcal{D} \) への反変関手 (contravariant functor) \( F: \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathcal{D} \) とは、\( \mathcal{C} \) の対象 \( X \) に \( \mathcal{D} \) の対象 \( F(X) \) を対応させ、射 \( f: X \to Y \) に射 \( F(f): F(Y) \to F(X) \) を対応させるものであり、恒等射と射の合成を保存するものです。
定義 1.3 (充満忠実) 反変関手 \( F: \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathcal{D} \) が与えられたとき、各対象 \( X, Y \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C}) \) に対して、写像 \[ F_{X,Y}: \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal{D}}(F(Y), F(X)) \] が定まります。 両方を満たすとき、\( F \) は充満忠実 (fully faithful) であると言います。

2. frame の圏 \( \mathbf{Frm} \)

定義 2.1 (frame) frame (frame) とは、次の条件を満たす半順序集合 \( (L, \le) \) のことです。
  1. 任意の有限個の交わり（下限 \( \wedge \)、および最大元 \( 1 \)）を持つ。
  2. 任意の大きさの結び（上限 \( \bigvee \)、および最小元 \( 0 \)）を持つ。
  3. 次の無限分配律 (infinite distributive law) を満たす。
    \[ x \wedge \left( \bigvee_{i \in I} y_i \right) = \bigvee_{i \in I} (x \wedge y_i) \quad (\forall x \in L, \{y_i\}_{i \in I} \subseteq L) \]
定義 2.2 (frame 準同型) 2つの frame \( L, M \) の間の写像 \( \phi: L \to M \) がframe 準同型 (frame homomorphism) であるとは、有限交わりと任意結びを保存すること、すなわち次を満たすことを言います。

対象を frame とし、射を frame 準同型とする圏を frame の圏 (category of frames) と呼び、\( \mathbf{Frm} \) で表します。

例 2.3 (位相空間の開集合系) 任意の位相空間 (topological space) \( X \) に対し、その開集合 (open set) 全体の成す族 \( \mathcal{O}(X) \) は、包含関係 \( \subseteq \) に関して半順序集合となります。任意和が開集合となり、有限共通部分が開集合となるという位相の公理により、\( \mathcal{O}(X) \) は frame になります。 また、clopen (clopen) な集合（開かつ閉集合）や、超不連結 (extremally disconnected) な空間の開集合系なども、特定の性質を持つ frame を構成します。

3. sober 空間と点の特徴付け

位相空間論において、空間の「点」と「閉集合」の関係性を圏論的に捉え直す上で重要なのが sober 空間 (sober space) です。

定義 3.1 (既約閉集合) 位相空間 \( X \) の閉集合 (closed set) \( F \) が既約閉集合 (irreducible closed set) であるとは、\( F \neq \emptyset \) であり、かつ \( F = F_1 \cup F_2 \) （ただし \( F_1, F_2 \) は閉集合）ならば \( F = F_1 \) または \( F = F_2 \) が成り立つことを言います。
定義 3.2 (sober 空間) 位相空間 \( X \) が sober 空間 (sober space) であるとは、任意の既約閉集合 \( F \) に対して、\( F = \overline{\{x\}} \) を満たす点 \( x \in X \) がただ一つ存在すること（一意な点の閉包 (closure) として表されること）を言います。

圏論や frame の文脈では、sober 空間を frame を使って次のように特徴付けます。

定理 3.3 (点の frame 論的特徴付け) 2点からなる frame を \( \mathbf{2} = \{0, 1\} \) (ただし \( 0 < 1 \)) とします。frame \( L \) から \( \mathbf{2} \) への frame 準同型全体の集合を \( \mathrm{Pt}(L) \) と書き、これを \( L \) の点 (points) と呼びます。
位相空間 \( X \) の点 \( x \in X \) に対し、写像 \( p_x: \mathcal{O}(X) \to \mathbf{2} \) を以下で定義します。 \[ p_x(U) = \begin{cases} 1 & (x \in U) \\ 0 & (x \notin U) \end{cases} \] このとき、\( p_x \) は frame 準同型となります。さらに、位相空間 \( X \) が sober 空間であることの必要十分条件は、対応 \( \eta_X: X \to \mathrm{Pt}(\mathcal{O}(X)) \ (x \mapsto p_x) \) が全単射 (bijective) となることです。
定理 3.3 の証明の概略 \( \eta_X \) の全単射性と定義 3.2 の同値性を示します。
frame 準同型 \( \phi: \mathcal{O}(X) \to \mathbf{2} \) が与えられたとき、\( \mathcal{U} = \phi^{-1}(1) \) は \( \mathcal{O}(X) \) の完全素フィルター (completely prime filter) となり、その補集合 \( \mathcal{P} = \phi^{-1}(0) \) は \( \mathcal{O}(X) \) における主イデアルとなります。すなわち、\( \mathcal{P} \) の和集合を \( W = \bigcup \mathcal{P} \) とすると、\( \phi \) が任意和を保存するため \( \phi(W) = 0 \) となり、\( W \in \mathcal{P} \) が最大の開集合として存在します。
このとき、\( F = X \setminus W \) とおくと、\( F \) は既約閉集合となります。逆に既約閉集合 \( F \) があれば、\( F \cap U = \emptyset \) となる開集合全体から frame 準同型が構成できます。この対応により、既約閉集合と \( \mathrm{Pt}(\mathcal{O}(X)) \) は 1 対 1 に対応します。
したがって、「任意の既約閉集合が唯一の点 \( x \) の閉包になる」という sober 空間の条件は、「任意の frame 準同型 \( \phi \in \mathrm{Pt}(\mathcal{O}(X)) \) が唯一の \( p_x \) と一致する」という条件（すなわち \( \eta_X \) が全単射）と同値になります。

4. 反変関手 \( \mathcal{O}: \mathbf{Sob}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Frm} \) の定義

sober 空間を対象とし、連続写像 (continuous map) を射とする圏を \( \mathbf{Sob} \) とします。
位相空間の間の連続写像 \( f: X \to Y \) に対し、逆像写像 \( f^{-1}: \mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X) \) は、和集合と共通部分を保存するため frame 準同型になります。
これにより、自然な反変関手 \[ \mathcal{O}: \mathbf{Sob}^{\mathrm{op}} \longrightarrow \mathbf{Frm} \] が定義されます。この関手が充満忠実であることを示すのが本稿の主眼です。すなわち、任意の sober 空間 \( X, Y \) に対して、次の写像が全単射であることを示します。 \[ \mathcal{O}_{X,Y}: \mathrm{Hom}_{\mathbf{Sob}}(X, Y) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\mathbf{Frm}}(\mathcal{O}(Y), \mathcal{O}(X)) \quad (f \mapsto f^{-1}) \]

5. 充満忠実性の証明

定理 5.1 反変関手 \( \mathcal{O}: \mathbf{Sob}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Frm} \) は充満忠実 (fully faithful) である。
証明 写像 \( \mathcal{O}_{X,Y}: f \mapsto f^{-1} \) が「単射（忠実）」かつ「全射（充満）」であることを示します。

① 忠実性 (Faithfulness) の証明：単射性

\( f, g: X \to Y \) を sober 空間の間の連続写像とし、\( \mathcal{O}(f) = \mathcal{O}(g) \)、すなわちすべての開集合 \( V \in \mathcal{O}(Y) \) に対して \( f^{-1}(V) = g^{-1}(V) \) であると仮定します。
任意の点 \( x \in X \) をとります。すべての \( Y \) の開集合 \( V \in \mathcal{O}(Y) \) に対して、次が成り立ちます。 \[ f(x) \in V \iff x \in f^{-1}(V) \iff x \in g^{-1}(V) \iff g(x) \in V \] ここで、sober 空間は自動的に \( T_0 \) 空間 (\( T_0 \) space) （任意の異なる2点に対し、片方を含みもう片方を含まない開集合が存在する空間）となります（既約閉集合の閉包の一意性から、異なる点は異なる閉包を持つため）。
もし \( f(x) \neq g(x) \) であれば、\( Y \) が \( T_0 \) 空間であることから、片方を含みもう片方を含まない開集合 \( V \) が存在しなければなりませんが、上の同値性からそれは不可能です。
したがって、すべての \( x \in X \) で \( f(x) = g(x) \) となり、\( f = g \) が従います。よって \( \mathcal{O}_{X,Y} \) は単射 (injective) です。

② 充満性 (Fullness) の証明：全射性

任意の frame 準同型 \( \phi: \mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X) \) が与えられたとき、\( \phi = f^{-1} \) となる連続写像 \( f: X \to Y \) を構成します。
各点 \( x \in X \) に対し、対応する frame 準同型 \( p_x: \mathcal{O}(X) \to \mathbf{2} \) を用いて、合成写像 \( p_x \circ \phi \) を考えます。 \[ \mathcal{O}(Y) \xrightarrow{\ \phi\ } \mathcal{O}(X) \xrightarrow{\ p_x\ } \mathbf{2} \] frame 準同型の合成は再び frame 準同型なので、\( p_x \circ \phi \in \mathrm{Pt}(\mathcal{O}(Y)) \) です。
ここで \( Y \) が sober 空間であること、すなわち定理 3.3 における \( \eta_Y: Y \to \mathrm{Pt}(\mathcal{O}(Y)) \) が全単射であることを用います。これにより、各 \( x \in X \) に対して次を満たす \( Y \) の点 \( y \) が一意に存在します。 \[ p_y = p_x \circ \phi \] この一意に定まる \( y \) を \( f(x) \) と定義することで、写像 \( f: X \to Y \) が得られます。

この \( f \) が \( \phi = f^{-1} \) を満たすことを確認します。任意の開集合 \( V \in \mathcal{O}(Y) \) に対し、\( x \in X \) を任意にとると、 \[ \begin{aligned} x \in f^{-1}(V) &\iff f(x) \in V \\ &\iff p_{f(x)}(V) = 1 \quad (p_y \text{ の定義より}) \\ &\iff (p_x \circ \phi)(V) = 1 \quad (f(x) \text{ の定義より } p_{f(x)} = p_x \circ \phi) \\ &\iff p_x(\phi(V)) = 1 \\ &\iff x \in \phi(V) \end{aligned} \] これが任意の \( x \in X \) で成り立つため、部分集合として \( f^{-1}(V) = \phi(V) \) が成り立ちます。
\( \phi(V) \) は \( \mathcal{O}(X) \) の元、すなわち \( X \) の開集合であるため、\( f^{-1}(V) \) も開集合となります。任意の開集合の逆像が開集合になることから、\( f \) は連続 (continuous) （すなわち \( \mathbf{Sob} \) の射）です。
そして定義から \( \phi = f^{-1} = \mathcal{O}(f) \) となるため、\( \mathcal{O}_{X,Y} \) は全射 (surjective) です。

以上より、\( \mathcal{O}_{X,Y} \) は全単射となり、反変関手 \( \mathcal{O} \) は充満忠実であることが証明されました。  \(\blacksquare\)
参考文献